Aku n MATEMATIKA cah SMA Nda: GEOMETRIC SEQUENCES n SERIES

Minggu, November 13, 2011

GEOMETRIC SEQUENCES n SERIES

Prinsip :
Mempunyai Pembanding / Rasio (= r) yang tetap dari 2 suku yang ber-urutan
$\fn_jvn r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}\, ;\, r\, \neq 1\,\, dan\, \, r\, \neq -1\,$
9,3,1,1/3,1/9,..........adalah barisan geometri (BG) dengan rasio 1/3.
1,2,4,8,16,32,.........adalah barisan geometri (BG) dengan rasio 2
1/2,-1,2,-4,8,..........adalah barisan geometri (BG) dengan rasio (-2)

RUMUS SUKU KE-n
$\inline \fn_jvn \frac{U_{2}}{U_{1}}=r\Rightarrow \, U_{2}=U_{1}.r=a.r$
$\inline \fn_jvn \frac{U_{3}}{U_{2}}=r\Rightarrow \, U_{3}=a.r^{2}$
$\inline \fn_jvn \frac{U_{4}}{U_{3}}=r\Rightarrow \, U_{4}=a.r^{3}$
................
................
$\inline \fn_jvn sehingga \: \: \: \, U_{n}=a.r^{n-1}$

Tabel hubungan yang manis antara BA dan BG
" hanya untuk urusan Un saja"

BA	+	-	.k	:k
BG	.	:	^k	$\sqrt[k]{..}$

Barisan Aritmatika (BA)	Barisan Geometri (BG)
$\inline \fn_jvn b=U_{n}-U_{n-1}$	$\inline \fn_jvn r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$
$\inline \fn_jvn 2.U_{tengah}=U_{awal}+U_{akhir}$	$\inline \fn_jvn U^{2}_{tengah}=U_{awal}.U_{akhir}$
$\inline \fn_jvn U_{tengah}=\frac{U_{awal}+U_{akhir}}{2}$	$\inline \fn_jvn U_{tengah}=\sqrt{U_{awal}.U_{akhir}}$
$\inline \fn_jvn U_{n}-U_{m}=(n-m).b$	$\inline \fn_jvn \frac{U_{n}}{U_{m}}=r^{n-m}$
$\inline \fn_jvn U_{n}=a+(n-1).b$	$\inline \fn_jvn U_{n}=a.r^{n-1}$

Contoh :
$Bila\: \: a,b,c\: membentuk \: barisan\: geometri \: maka$
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=....$
$A.\: \: \frac{1}{a}$ $D.\: \: \frac{bc}{a}$
$B.\: \: \frac{1}{b}$ $E.\: \: \frac{ab}{c}$
$C.\: \: \frac{1}{c}$

Jawab :
$a,b,c\:BG \Rightarrow b^{2}=a.c$
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{(b+c)+(a+b)}{(b+c).(a+b)}=\frac{a+2b+c}{ab+b^{2}+ac+bc}$
$qt\: substitusikan \: ac=b^{2}$
$\frac{a+2b+c}{ab+b^{2}+b^{2}+bc}=\frac{a+2b+c}{ab+2b^{2}+bc}=\frac{a+2b+c}{b(a+2b+c)}=\frac{1}{b}$

cara yang lain tinggal ambil BG sembarang,
misalnya a = 1 , b = 2 , c = 4
trus masukin ke soale .....so
1/3 + 1/6 = 3/6 alias 1/2 alias 1/b

Contoh :
$Dalam\: barisan\: geometri\: diketahui\: U_{2}=\frac{1}{2}\:dan\:U_{5}=32$
$maka\:U_{6}\: sama\: dengan\: ....$

Jawab :

$\frac{U_{5}}{U_{2}}=r^{3}=\frac{32}{\frac{1}{2}}=4^{3}\Rightarrow r=4$
$\frac{U_{6}}{U_{5}}=r\Rightarrow U_{6}=r.U_{5}$
$\therefore U_{6}=4.32=128$

Contoh :
$Tiga\: bilangan :\:n-2\: ,\: 3n-3\: ,\: 9n+3\: membentuk\: BG.$
$Rasio\:barisan \:tersebut\: adalah....$

Jawab :
$U^{2}_{tengah}=U_{awal}.U_{akhir}$
$(3n-3)^{2}=(n-2).(9n+3)\Rightarrow 9n^{2}-18n+9=9n^{2}-15n-6$
$15=3n\Rightarrow n=5$
$BG\:\: \: 3\: ,\: 12\: ,\: 48\Rightarrow rasio = 4$