Aku n MATEMATIKA cah SMA Nda: Arithmetic Sequences and Series part 02

Rumus JUMLAH n SUKU PERTAMA BARISAN ARITMATIKA

Sebelumnya qt kenalkan dulu :
$\inline \fn_cm U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+....+U_{n}=n.U_{t}$
$\fn_cm U_{t}=U_{tengah}=U_{rata-rata}$
SEHINGGA DIDAPAT
$\inline \fn_cm S_{n}=n.U_{t}$
$\inline \fn_cm karena \: U_{t}=\frac{1}{2}(a+U_{n})\Rightarrow S_{n}=n.\frac{1}{2}(a+U_{n})$

$\inline \fn_cm karena \: U_{n}=a+(n-1).b\Rightarrow S_{n}=\frac{n}{2}.(2a+(n-1).b)$

contoh :
$U_{4}+U_{6}={\color{Red} 2}.U_{{\color{Blue} 5}}$
2 diambil karena ada 2 buah suku yang qt jumlahkan dan 5 dari rata-ratanya (4+6)/2
$U_{7}+U_{17}=2.U_{12}$
$U_{1}+U_{2}+U_{9}=3.U_{4}$

bahkan untuk pemodelan soal yang seperti $U_{2}+U_{11}$ g masalah dapat qt hitung sebagai $2.U_{6\frac{1}{2}}$
memang secara teori membilang kudu dimulai dengan n Asli tetapi untuk perhitungan
n yang pecahan masih bisa dipakai.

contoh :
$Dari\: suatu\: barisan\: aritmatika\: diketahui:$
$U_{2}=5\: dan\: U_{4}+U_{6}=28\: maka \: U_{11}=....$
Jawab :
$U_{4}+U_{6}=28=2.U_{5}\: \Rightarrow \: U_{5}=14$
$U_{5}-U_{2}=3b=14-5=9\Rightarrow b=3$
$U_{11}-U_{5}=6b\Rightarrow U_{11}=U_{5}+6b=14+6.3=32$

contoh :
Dari suatu barisan aritmatika diketahui :
$U_{1}+U_{2}+U_{3}=24\: \: dan\: \:U_{3}+U_{4}+U_{5}=66.$
$Maka\: \:S_{5}=....$
Jawab :
$U_{1}+U_{2}+U_{3}=24=3.U_{2}\Rightarrow U_{2}=8$
$U_{3}+U_{4}+U_{5}=3.U_{4}=66\Rightarrow U_{4}=22$
$U_{4}-U_{2}=2.b=22-8=14\Rightarrow b=7$
$jadi\: U_{3}=15\: \: dan\: \:S_{5}=5.U_{3}$
Sehingga $S_{5}=5.15=75$

Sekarang perhatikan lagi rumus berikut :
$S_{n}=\frac{n}{2}.\left \{ 2a+(n-1).b \right \}$
Jika qt uraikan akan menjadi
$S_{n}=\left (\frac{b}{2} \right ).n^{2}+\left (\frac{2a-b}{2} \right ).n$
sehingga dapat qt simpulkan sbb :
$\bullet \: \: S_{n}\: barisan\: aritmatika \: berbentuk\: kuadrat$
   $tanpa\: konstanta\: bebas\: ditulis \: S_{n}=(i).n^{2}+(ii).n$
   $dengan \: (i)\: koefisien\: n^{2} \: sama-dengan \: \: \frac{beda}{2}$
   $dan \: (i)+(ii)\: \: sama-dengan \: \: suku-awal$ .

JADI UNTUK BARISAN ARITMATIKA PERLU DIINGAT JUMLAH KOEFISIEN DARI SUKU KE-n SAMA DENGAN JUMLAH KOEFISIEN DARI JUMLAH SAMPAI n SUKU YANG PERTAMA YAITU MENGARAH PADA SUKU AWAL

CONTOH :

Dari barisan aritmatika 8,14,20,...........,Un

Tentukan Un dan Sn.

JAWAB

suku awal = 8

beda = 4

separoh beda = 2

jadi Un = 4n + 4 dan $S_{n}=({\color{Blue} 2}).n^{2}+(6).n = 2n^{2}+6n$

CONTOH :

Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika adalah $S_{n}=3.n^{2}-4.n$
maka nilai suku-10 adalah....

JAWAB

$koefisien \: n^{2}=3=\frac{beda}{2}\Rightarrow beda=6$
$jumlah \: koefisien-koefisiennya\: adalah\: (3)+(-4)=-1=suku \: awal$
$jadi \: U_{n}=(6)n+(-7).....kok\: biso\: ?dipikir\, dulu\, dunk \: COY$
$U_{10}=(6).10+(-7)=53$

CONTOH :

Diketahui Jumlah 5 suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 55 dan
Jumlah 9 suku pertamanya adalah 171 maka nilai suku-2 adalah....

JAWAB

$S_{9}=9.U_{5}=171\Rightarrow U_{5}=19$
$S_{5}=5.U_{3}=55\Rightarrow U_{3}=11$
$U_{5}- U_{3}=2b=19-11=8\Rightarrow b=4$
$U_{5}- U_{2}=3b\Rightarrow {\color{Blue} U_{2}}=U_{5}-3b=19-3.4={\color{Blue} 7}$

CONTOH :

Diketahui deret aritmatika :
$log\, a+log\, (ab)+log\, (ab^{2})+log\, (ab^{3})+......+U_{n}$
Jumlah 6 suku pertamanya adalah ....

JAWAB

$suku\: awal=log\, a$
$beda=log\, (ab)-log\, a=log\, a+log\, b-log\, a=log\, b$

$S_{n}=(\frac{1}{2}.log\, b)n^{2}+(log\, a-\frac{1}{2}.log\, b).n$

$S_{6}=(\frac{1}{2}.log\, b)6^{2}+(log\, a-\frac{1}{2}.log\, b).6=18.log\, b+6.log\, a-3.log\, b$

$S_{6}=6.log\, a+15.log\, b$

CONTOH :

Suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = 6n + 4. Disetiap antara 2 sukunya
disisipkan 2 suku baru, sehingga terbentuk barisan aritmatika. Jumlah n suku
pertama deret yang terjadi adalah....
$A.\: \:\: S_{n}=n^{2}+9.n$ $D.\: \:\: S_{n}=n^{2}-6.n$
$B.\: \:\: S_{n}=n^{2}-9.n$ $E.\: \:\: S_{n}=n^{2}+6.n$
$C.\: \:\: S_{n}=n^{2}+8.n$

JAWAB

Apabila suatu barisan disisipkan diantara 2 sukunya dengan k bilangan yang sama maka posisi yang tidak mengalami perubahan adalah :

SUKU AWAL $U_{1}=S_{1}=a$